Cuando llegó a Budapest procedente de Cluj-Napoca en 1939, tras finalizar sus estudios de secundaria, aún no se había decidido por una carrera como compositor. Se matriculó en el departamento húngaro-francés de la Universidad Péter Pázmány (donde se doctoró en 1943) y estudió composición en la Academia de Música. Zoltán Kodály, que se jubiló en 1940, fue profesor de Szőllősy sólo durante un año, y Albert Siklós lo fue a partir del segundo. Sin embargo, Siklós murió al año siguiente, y Szőllősy completó su último año en la Academia de Música como alumno de János Viski. Inmediatamente después de la guerra, obtuvo una beca para Roma, donde asistió a la clase magistral de Petrassi en la Academia Santa Cecilia en el curso 1947/48.
Tres lugares importantes fueron los que más influyeron en su pensamiento y creencias artísticas: Cluj Napoca, el Eötvös Collegium y Roma. Su círculo de amigos incluía a Rudolf Maros, György Ligeti, Gábor Darvas y Kálmán Halász, que también buscaban nuevos caminos en la composición.
Como musicólogo, publicó textos y bibliografías para promover el culto a los dos grandes maestros de la música húngara, Kodály y Bartók. La mayor contribución de Szőllősy fue en el campo de la filología de Bartók. Creó un catálogo de obras de Bartók fácil de usar, traducido a muchos idiomas, que aún se utiliza en todo el mundo en programas de conciertos y CD, con la letra «Sz».