Lorsqu’il arrive de Cluj-Napoca à Budapest en 1939, après avoir terminé ses études secondaires, il n’a pas encore décidé de faire carrière en tant que compositeur. Il s’inscrit au département hongrois-français de l’université Péter Pázmány (où il obtient son doctorat en 1943) et étudie la composition à l’Académie de musique. Zoltán Kodály, qui a pris sa retraite en 1940, n’a été le professeur de Szőllősy que pendant un an, et Albert Siklós a été son professeur à partir de la deuxième année. Siklós meurt l’année suivante, et Szőllősy termine sa dernière année à l’Académie de musique en tant qu’élève de János Viski. Immédiatement après la guerre, il obtient une bourse pour Rome, où il suit la classe de maître de Petrassi à l’Académie Santa Cecilia au cours de l’année académique 1947/48.
Trois lieux importants ont eu la plus grande influence sur sa pensée et ses convictions artistiques, à savoir Cluj Napoca, le Collegium Eötvös et Rome. Son cercle d’amis comprend Rudolf Maros, György Ligeti, Gábor Darvas et Kálmán Halász, qui ont également cherché de nouvelles voies dans la composition.
En tant que musicologue, il a publié des textes et des bibliographies pour promouvoir le culte des deux grands maîtres de la musique hongroise, Kodály et Bartók. La plus grande contribution de Szőllősy a été dans le domaine de la philologie de Bartók. Il a créé un catalogue facile à utiliser des œuvres de Bartók, traduit dans de nombreuses langues, qui est toujours utilisé dans le monde entier sur les programmes de concert et les CD, avec la lettre « Sz ».